두 음이 어울리는지는 결국 주파수 비가 얼마나 단순한 유리수에 가까운가의 문제입니다. 평균율의 무리수 비 2k/12를 연분수로 전개해 가장 자연스러운 유리수 근사를 찾고, 그 사인파가 한 주기 안에서 어떻게 포개지는지 눈과 귀로 확인해 보세요.
한 옥타브(주파수 2배)를 똑같은 비율 12개로 쪼갭니다. 반음 하나의 비는 21/12 ≈ 1.0595, 반음 k개 떨어진 두 음의 비는 2k/12. k = 12가 아니면 이 값은 항상 무리수입니다.
어떤 수든 a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)) 꼴로 전개할 수 있고, 중간에서 끊은 값(convergent)이 그 수의 최적 유리수 근사가 됩니다. 전개 도중 큰 항이 나오면 직전 분수가 이미 놀랍도록 좋은 근사라는 뜻입니다.
주파수 비가 3:2처럼 단순하면 두 사인파의 합이 짧은 주기로 깔끔하게 반복되어 귀가 하나의 패턴으로 인식합니다(협화). 17:12처럼 복잡해야만 근사되면 파형이 좀처럼 반복되지 않아 거칠게 들립니다(불협).
파(F)와 시(B)는 반음 6개 차이, 정확히 옥타브의 절반입니다. 주파수 비는 26/12 = √2. 그런데 √2의 연분수 전개는 [1; 2, 2, 2, 2, …] — 작은 항(2)만 영원히 반복됩니다. 큰 항이 한 번도 나오지 않는다는 것은, 어떤 분수를 가져와도 분모 크기에 비해 근사가 형편없다는 뜻입니다.
실제로 가장 단순한 후보 7/5조차 17.5센트(반음의 약 1/6!)나 빗나가고, 몇 센트 안쪽으로 들어가려면 17/12처럼 복잡한 분수가 필요합니다. 17:12 비율에서는 낮은 음이 12번, 높은 음이 17번 진동해야 비로소 파형이 한 번 반복되니 귀가 공통 패턴을 찾지 못해 긴장과 거칢으로 느끼는 것입니다. 중세 음악가들이 이 음정을 diabolus in musica(음악 속의 악마)라 부른 이유죠.
비교: 완전5도(도–솔)의 비 27/12는 연분수가 [1; 2, 147, …]로 전개됩니다. 세 번째 항이 147이나 되니, 직전 근사 3/2는 단 2센트 오차의 환상적인 근사 — 그래서 평균율 5도는 순정 5도와 거의 구별되지 않습니다.
왜 복잡한 비율이 거칠게 들릴까요? 삼각함수 항등식 하나가 출발점입니다:
sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t) = 2·cos(2π·(f₁−f₂)/2·t)·sin(2π·(f₁+f₂)/2·t)
가까운 두 음의 합은 “평균 주파수의 음 하나가 초당 |f₁−f₂|번 커졌다 작아졌다 하는 소리”와 같습니다. 이 출렁임이 맥놀이입니다. 초당 1~5번이면 부드러운 떨림, 20~30번 부근이면 윙윙대는 거칢(불협화의 정체), 더 멀어지면 그제서야 두 개의 음으로 분리되어 들립니다.
실제 악기 음은 배음(f, 2f, 3f, …)을 갖습니다. 두 음의 모든 배음 쌍이 만드는 거칢을 심리음향 모델(Plomp–Levelt)로 합산하면 음정 간격에 대한 불협화 곡선이 나옵니다. 골짜기들이 평균율 눈금(회색 세로선)이 아니라 3/2, 4/3, 5/4 같은 단순 유리수 위치에 정확히 파입니다. 곡선을 클릭·드래그하거나 슬라이더를 움직여, 평균율 건반 사이의 무리수 영역까지 연속으로 탐험해 보세요.
참고: 배음 없는 순수 사인파 두 개로는 골짜기가 거의 생기지 않습니다. 협화는 ‘단순한 유리수’와 ‘배음’의 합작품입니다 — 2장의 트라이톤이 사인파로는 생각보다 멀쩡하게 들렸던 이유이기도 합니다.
현이든 성대든, 기본 주파수 f로 진동하는 것은 사실 f, 2f, 3f, 4f, … 정수배의 배음(harmonics)을 동시에 울립니다. 이 페이지 내내 등장한 정수비의 물리적 기원이 여기입니다 — 3/2, 5/4 같은 비율은 누가 발명한 게 아니라 하나의 음 안에 이미 들어 있는 간격입니다.
아래 눈금자는 가로축이 로그 주파수(= 음높이)입니다. 평균율 반음(회색 눈금)과 비교해 보세요. 배음 2·3·4·6·8·12번은 건반 위에 거의 정확히 내려앉지만, 7·11·13번은 건반 사이에 떨어집니다 — 평균율이 포기한 유리수들입니다.
몽골·투바의 전통 창법 흐미는 한 사람이 낮은 드론과 휘파람 같은 멜로디, 두 음을 동시에 내는 것처럼 들립니다. 비밀은 새로운 음을 내는 것이 아닙니다:
성대는 낮은 드론 하나만 냅니다. 그 드론 속에 이미 들어 있는 배음들 중에서, 가수가 혀와 입술로 입안의 공명강(포먼트)을 정밀하게 조정해 특정 배음 하나만 크게 증폭하는 것입니다. 멜로디는 ‘새로 낸 음’이 아니라 ‘원래 있던 배음을 골라낸 것’ — 살아 있는 푸리에 필터인 셈입니다.
그래서 어떤 음이 들리는지는 가수가 아니라 정수가 결정합니다. 기본음이 ‘도’라면 멜로디로 쓰는 6~13번 배음은 솔(6) · 자연7도(7, 시♭보다 31¢ 낮음) · 도(8) · 레(9) · 미(10) · 파♯ 근처(11) · 솔(12) · 솔♯와 라 사이(13). 흐미 멜로디가 5음음계처럼 들리는 이유, 그리고 어딘가 ‘건반과 다르게’ 들리는 이유가 전부 n/2ᵏ 꼴 유리수에서 나옵니다.
직접 해보세요. 드론을 켜고 슬라이더(= 혀의 위치, 공명 주파수)를 연속으로 움직여 보세요. 필터는 연속으로 움직이는데 들리는 멜로디는 정수 배음에서 정수 배음으로만 점프합니다 — 그 사이의 주파수에는 증폭할 것이 없기 때문입니다. 자연이 멜로디를 양자화하는 순간입니다.
주황 선이 현재 공명(혀) 위치입니다. ①의 표에서 행을 눌러 특정 배음으로 바로 이동할 수도 있습니다.
“최적 유리수”는 평균율 값과 18센트 이내로 맞는 가장 단순한 분수입니다. 분수가 단순할수록 두 파형이 빨리 다시 만나며, 음악 이론의 전통적 협화도 분류와 거의 일치합니다.
각 화음의 구성음을 유리수로 근사한 뒤 통분하면 화음 전체가 하나의 정수비가 됩니다(장3화음 = 4:5:6). 파형은 그 정수비 사인파들의 합으로, 캔버스 가로 전체가 정확히 한 주기입니다. 정수가 작을수록 근음이 몇 번만 진동해도 패턴이 반복되어 안정적으로 들립니다. 각 음 쌍의 배수 관계(예: 5/4, 6/5, 3/2)도 칩으로 표시했습니다. 화음을 골라 보세요.
가장 완벽한 음정인 순정 5도(3/2)만 쌓아서 음계를 지을 수는 없을까요? 5도 12번이면 거의 7옥타브이니 한 바퀴 돌아 제자리에 와야 합니다. 그런데:
(3/2)¹² = 531441/4096 ≈ 129.746 vs 2⁷ = 128
이 어긋남 531441/524288 ≈ 1.0136, 약 23.46센트(반음의 1/4!)가 피타고라스 콤마입니다. 그리고 이것은 우연이 아니라 필연입니다:
(3/2)ᵃ = 2ᵇ인 자연수 a, b가 있다면 3ᵃ = 2ᵃ⁺ᵇ. 그런데 좌변은 홀수, 우변은 짝수 — 모순. 따라서 순정 5도는 몇 번을 쌓아도 옥타브와 정확히 만나지 못합니다. 순정률만으로 닫힌 음계는 수학적으로 불가능하고, 어딘가에서 5도를 좁히는 타협이 필요합니다. 그 타협을 12개의 5도에 2센트씩 공평하게 나눠 갖게 한 것이 바로 평균율입니다.
두 ‘도’의 비가 1.0136이라 초당 약 3.6회의 맥놀이가 들립니다 — 4장에서 배운 바로 그 현상입니다.
옥타브를 N등분하는 평균율을 N-EDO라 부릅니다. 좋은 음계란 적은 음 개수로 3/2, 5/4 같은 단순한 유리수를 동시에 잘 근사하는 음계입니다. 12가 표준이 된 것은 우연이 아니라, log₂3 ≈ 19/12라는 연분수 근사 덕분에 단 12음으로 완전5도를 2센트 이내로 맞추기 때문입니다. 53-EDO는 더 정확하지만 음이 너무 많죠. 아래에서 음계를 골라 비교해 보세요. (단계표의 행을 누르면 근음과 함께 들려줍니다)
N등분 음계가 쓸 만한 완전5도를 가지려면 어떤 단계 k에서 2k/N ≈ 3/2여야 합니다. 양변에 log₂를 취하면
k/N ≈ log₂(3/2) = 0.584962…
즉 좋은 음계 찾기는 무리수 log₂(3/2)를 분모 작은 분수로 근사하는 문제 — 2장에서 음정 하나에 했던 것과 정확히 같은 게임을 음계 전체에 하는 것입니다. 그리고 그 게임의 정답을 내놓는 기계가 바로 연분수입니다:
convergent의 분모들을 읽어보세요: 옥타브를 2, 5, 12, 41, 53등분하라고 말하고 있습니다. 5등분(가믈란 슬렌드로), 12등분(표준), 53등분(메르카토르·터키 코마) — 역사에 실제로 등장한 음계들이 연분수 전개에서 그대로 튀어나옵니다.
연분수의 convergent p/q는 “오차 × 분모” 척도 |q·α − p| 기준으로 분모 q 이하의 모든 분수 중 최선이며, 다음 convergent가 나오기 전까지는 그 어떤 분수도 이를 깨지 못합니다. 7/12가 convergent이고 다음이 24/41이므로:
2 ≤ N ≤ 40인 어떤 N-EDO도 음 개수 대비 12-EDO보다 좋은 완전5도를 만들 수 없다. 이것은 취향이나 관습이 아니라 정리(theorem)입니다.
주의 깊게 보면: 단순 오차만 재면 29-EDO의 5도(+1.5¢)가 12-EDO(−2.0¢)보다 아주 약간 정확합니다. 하지만 29개 음이라는 비용을 세는 순간 12가 이깁니다. 12를 진짜로 넘어서는 다음 후보는 41, 그다음 53 — 음이 너무 많아 악기와 기보가 감당하기 어렵죠.
5도 하나가 아니라 여러 순정비를 동시에 보려면 척도를 직접 정의하면 됩니다:
B(N)이 낮을수록 “음 하나당 근사 효율”이 좋은 음계입니다. N을 곱하는 것은 위 정리의 |q·α − p| (= q × 오차)와 같은 정신 — 디오판토스 근사에서 표준적인 방식입니다. 어떤 순정비까지 욕심내는지(리미트)에 따라 승자가 바뀝니다. 막대를 클릭하면 위 9장에서 그 음계를 분석합니다.