\(\pi\)를 "원의 둘레 ÷ 지름"으로만 기억한다면 — \(\pi\)는 좀 서운할 겁니다. 원과 아무 상관 없어
보이는 곳마다 \(\pi\)가 불쑥불쑥 나타나거든요. 두 수가 서로소일 확률에, 제곱수의 역수 합에, 무한곱에, 심지어
두 물체가 부딪치는 횟수에까지. \(\pi\)가 사실은 수학의 도처에 사는 수라는 걸, 함께 만나러 갑니다.
0화두 — 두 수가 서로소일 확률
자연수 두 개를 아무렇게나 골랐다고 합시다. 둘의 최대공약수가 1(서로소)일 확률은 얼마일까요? 약수니
공약수니 — 원과는 전혀 상관없어 보이죠. 그런데 답은:
이 곱을 전개해 \(x^2\)의 계수를 보면 \(-\bigl(\tfrac1{\pi^2}+\tfrac1{4\pi^2}+\cdots\bigr)=-\tfrac1{\pi^2}\sum\tfrac1{n^2}\).
한편 \(\sin x/x=1-\tfrac{x^2}{6}+\cdots\)의 \(x^2\) 계수는 \(-\tfrac16\). 둘을 맞추면 곧장
\(\sum 1/n^2=\pi^2/6\). (근으로 인수분해해도 되는가 — 그 정당화는 한참 뒤에 채워졌지만, 답은 옳았죠.)
등대(광원)로 보는 증명 — 역피타고라스
또 하나, 빛(등대)으로 보는 우아한 기하 증명이 있습니다(배스틀룬드, 2010 — 아이디어는 야글롬 형제의 1953년
풀이까지 거슬러 갑니다). 핵심은 역피타고라스 정리예요. 직각삼각형에서 두 직각변까지의 거리가 \(a,b\)이고
빗변에 내린 높이가 \(h\)면 \(\tfrac1{h^2}=\tfrac1{a^2}+\tfrac1{b^2}\). 이걸 "관측자가 보는 등대의 밝기
\(\propto 1/d^2\)"로 읽으면 — 거리 \(h\)인 등대 하나는, 거리 \(a,b\)인 등대 둘과 밝기 합이 똑같다는 뜻이죠.
이 "한 등대를 둘로 쪼개도 밝기 보존" 한 수를 원 위에서 무한히 반복하면 등대들이 수직선의 홀수 자리에 늘어서고,
총밝기가 \(\sum 1/(\text{홀수})^2=\pi^2/8\)로 모입니다. 거기서 \(\sum 1/n^2=\pi^2/6\). 아래에서 그 한 수 —
밝기 보존 — 를 직접 만져 보세요.
역피타고라스 — 등대 하나 = 등대 둘 (밝기 보존)
반원 위의 직각 꼭짓점 C를 드래그하세요. 거리 \(a,b\)와 빗변 높이 \(h\)가 바뀌어도
\(\tfrac1{a^2}+\tfrac1{b^2}=\tfrac1{h^2}\)은 늘 성립 — "거리 \(a,b\)의 등대 둘 = 거리 \(h\)의 등대 하나"라는
밝기 보존이죠. 이 한 수가 바젤 증명의 엔진입니다.
그 한 수를 무한히 — 등대를 두 배로 (밝기는 불변)
등대 수 N = 2
관측자(초록) 둘레의 원에 등대(주황)를 같은 간격으로 둡니다. 두 배로를 누를 때마다 위의 역피타고라스
한 수로 등대가 둘씩 쪼개지고 — 원이 두 배 커져 호가 점점 평평해지죠. 그래도 밝기 합은 꿈쩍도 안 합니다.
그 불변량이 정확히 \(\pi^2/8\)예요. 무한히 반복하면 등대들이 관측자에서 \(1,3,5,7,\dots\)(홀수 간격) 자리에 늘어서니
\(\sum_{k\ge0}1/(2k{+}1)^2=\pi^2/8\), 짝수 항을 채우면 \(\sum 1/n^2=\pi^2/6\). 이게 등대 증명의 전부입니다.
떡밥 회수 — 왜 서로소 확률이 \(6/\pi^2\)인가
두 수가 모두 소수 \(p\)의 배수일 확률은 \(1/p^2\)이니, "\(p\)로 동시에 나뉘지 않을" 확률은 \(1-1/p^2\).
소수마다 독립이라 보고 다 곱하면, 서로소일 확률은
\[ \prod_{p\ \text{소수}}\Bigl(1-\frac1{p^2}\Bigr)=\frac{1}{\displaystyle\sum_{n\ge1}1/n^2}=\frac{1}{\pi^2/6}=\frac{6}{\pi^2}. \]
(가운데 등호가 바로 오일러 곱입니다.) 바젤의 \(\pi^2/6\)이, 약수와 아무 상관없어
보이던 확률 문제의 한복판에서 떡하니 나타난 거죠.
2같은 등대로 — 월리스 공식
놀랍게도 또 하나의 고전 월리스 공식(1656)도 원 위의 등대 기하로 증명됩니다(배스틀룬드의 2007년 초등
기하 증명).
이 기하 증명의 씨앗은 깜짝 놀랄 만큼 깔끔한 사실 하나예요 — 단위원에 정\(N\)각형으로 등대를 두고, 한 등대
(등대지기)에서 나머지 \(N-1\)개까지의 거리(현)를 모두 곱하면 정확히 \(N\). 이 현-곱들을 짝지어 비교하면
월리스 곱이 떨어집니다. (이 공식은 곧 4장에서 카탈란 수를 \(\pi\)와 잇는 다리도 됩니다.) 아래에서 거리들의 곱이
정확히 \(N\)이 되는 걸 직접 확인해 보세요.
등대지기에서 나머지 등대까지 — 거리의 곱 = N
등대 수 N = 7
단위원에 정\(N\)각형으로 둔 등대(주황) 중 하나가 등대지기(초록). 거기서 나머지 등대까지 현을 모두
그어 길이를 곱하면 — 신기하게도 정확히 \(N\)입니다. 이 현-곱 항등식이 월리스 증명의 출발점이에요(배스틀룬드 2007).
월리스보다 60여 년 앞선, 역사상 첫 무한곱 \(\pi\) 공식은 비에트(1593)였습니다 —
\(\dfrac{2}{\pi}=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\cdots\),
중첩 제곱근의 무한곱이죠.
3라마누잔의 \(\pi\) 공식
\(\pi\)를 향한 가장 비현실적인 식들은 라마누잔에게서 나왔습니다. 그가 1914년 적어 둔 급수 하나:
충격은 그 수렴 속도입니다. \(k=0\) 한 항만으로 이미 \(\pi\)를 소수점 아래 여덟 자리까지
맞히고(\(3.14159273\dots\)), 항을 하나 더할 때마다 약 8자리씩 정확해져요. 라마누잔은 이런 급수를 (증명도
없이) 17개나 남겼고, 훗날 추드노프스키 형제가 같은 꼴의 급수로 \(\pi\)를 수조 자리까지 계산하는 데 썼습니다 —
오늘날 \(\pi\) 자릿수 기록은 모두 라마누잔의 후예예요.
그뿐 아니라 그는 \(\pi\)가 박힌 연분수·중첩근호도 잔뜩 남겼죠. "원주율은 원의 것"이라는 생각을, 라마누잔만큼
호쾌하게 깬 사람도 없습니다.
한 항당 8자리의 비밀은 분모의 \(396^{4k}=(396^4)^k\approx2.4\times10^{10k}\)에 있습니다 — 매 항이
\(10^{8}\)배쯤 작아지니 그만큼 자리가 쏟아지죠.
정반대 — 가장 직관적이지만 가장 느린 식
라마누잔이 한 항에 8자리라면, 정반대 극단도 있습니다. 라이프니츠–마다바 급수
\[ \frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots\;\approx\;0.7854 \]
는 홀수의 역수를 번갈아 더하고 빼는, 더없이 단순하고 아름다운 식이지만 — 수렴이 끔찍하게 느려요. 정확한 자리
하나를 더 얻으려면 항이 대략 열 배씩 필요해, \(\pi\)를 열 자리까지 얻으려면 약 100억 항을 더해야 합니다.
4카탈란 수와 토너먼트 — \(16^n/(n^3T_n^2)\to\pi\)
\(n\)경기를 치르는 단판 토너먼트의 대진(누가 누구를 이기고 올라가는 모양)을 세면 — 조합론의 스타 카탈란 수
\(T_n=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}\)이 나옵니다(괄호 맞추기, 산길 경로 등과 같은 수). 순열·괄호·토너먼트를 세는,
원과는 더더욱 무관해 보이는 수죠. 그런데 — 2장의 월리스 공식과 엮으면:
월리스에서 나오는 \(\binom{2n}{n}\sim 4^n/\sqrt{\pi n}\)을 카탈란 수에 대입하면 곧장 떨어집니다.
"대진표 세기"가 \(\pi\)로 수렴한다니 — 토너먼트 한 장에도 원주율이 숨어 있던 거예요.
\(16^n/(n^3T_n^2)\) — \(\pi\)로 기어가기
n = 100
초록 곡선이 \(n\)을 키울수록 \(\pi\)(주황 점선)로 위에서 내려옵니다(보정항 \(\sim 1+\tfrac{9}{4n}\)).
5두 물체의 충돌이 \(\pi\)를 센다
마찰 없는 바닥, 왼쪽엔 벽. 가벼운 블록(질량 \(m\)) 하나가 벽 앞에 있고, 무거운
블록(질량 \(M\))이 왼쪽으로 굴러와 부딪칩니다. 모든 충돌은 완전탄성(에너지·운동량 보존). 자, "딱!" 소리가
모두 몇 번 날까요? 두 블록이 다시 못 만나고 멀어질 때까지.
답이 미친 듯이 아름답습니다. 질량비 \(M/m\)을 \(1,\ 100,\ 100^2,\dots\)로 키우면 충돌 횟수가:
3Blue1Brown으로 널리 알려졌지만, 원래는 갈페린(2003)의 〈Playing pool with \(\pi\)〉가 출처입니다. 증명이 또
기가 막혀요.
PROOF — 당구공이 그리는 부채꼴 (갈페린)
두 블록의 속도를 좌표로 \((x,y)=(\sqrt{m}\,v_1,\ \sqrt{M}\,v_2)\)로 바꿉니다. 그러면 에너지 보존
\(\tfrac12 m v_1^2+\tfrac12 M v_2^2=\)일정은 곧 \(x^2+y^2=\)일정 — 이 점은 원 위를 움직이죠.
두 블록의 탄성충돌은 이 \((x,y)\) 평면에서 운동량 보존선에 대한 반사가 되고, 벽 충돌은
\(v_1\)의 부호를 뒤집어 또 다른 반사가 됩니다. 즉 점은 두 직선이 이루는 부채꼴(쐐기) 안에서 당구공처럼
튕기며, 충돌 한 번이 반사 한 번이에요. 쐐기의 각은 \(\theta=\arctan\sqrt{m/M}\).
부채꼴 안을 튀는 공의 반사 횟수는 — 펼쳐 보면 — 각 \(\theta\)를 반원 \(\pi\) 안에 몇 번
끼울 수 있느냐, 곧 \(\lfloor \pi/\theta\rfloor\)입니다. 질량비 \(M/m=100^N\)이면 \(\theta\approx\sqrt{m/M}=10^{-N}\),
그래서 \(\pi/\theta\approx\pi\cdot10^N\) — 그 정수부가 바로 \(\pi\)의 앞 \(N{+}1\)자리죠. \(\blacksquare\)
증명 시각화 — 속도 평면에서 점이 튕긴다 (클릭하면 재생)
질량비 \(M/m=100^{\,}\)1
가로축 \(\sqrt m\,v_1\), 세로축 \(\sqrt M\,v_2\). 에너지 보존이라 상태점은 원 위에만 있고,
충돌마다 두 거울선(벽 반사=세로축, 블록 충돌=기울어진 선) 중 하나에 대해 반사합니다 — 그래서 점이
두 선이 이루는 부채꼴에서 당구공처럼 튕겨요. 화면을 클릭하면 \((v_1,v_2)\)가 충돌마다 어떻게 꺾이는지 한
수씩(딱! 소리와 함께) 재생합니다(\(M/m=1,100\)). 두 거울선 사잇각이 \(\theta=\arctan\sqrt{m/M}\)라, 반원(\(\pi\))에
\(\theta\)가 들어가는 횟수가 곧 충돌 수 — \(\pi\)의 자릿수죠. \(M/m\)이 클수록 부채꼴이 얇아져 더 촘촘히 튕깁니다.
블록 충돌 시뮬레이터 — 딱! 소리를 세 보세요
질량비 \(M/m=100^{\,}\)2
왼쪽 벽 + 작은 블록 + (오른쪽에서 굴러오는) 큰 블록. 충돌 횟수가 곧 \(\pi\)의 자릿수입니다.
\(N\le3\)은 소리(딱! 딱!)와 함께 애니메이션으로 — \(N\)이 커지면 초고속 클릭음이 됩니다. 마지막엔 큰 블록이
오른쪽으로 빠져나간 뒤 멈춰요. \(N\ge4\)는 충돌이 너무 많아 숫자만.
6뷔퐁의 바늘 — 던져서 \(\pi\)를 잰다
마지막으로, \(\pi\)가 확률에서 나오는 가장 오래된 고전. 1733년 뷔퐁 백작이 물었습니다 — 간격 \(D\)로
평행선이 그어진 바닥에 길이 \(L\,(\le D)\)인 바늘을 아무렇게나 떨어뜨리면, 바늘이 선을 가로지를 확률은?
뷔퐁의 바늘 (1733)
\[ P(\text{교차})=\frac{2L}{\pi D}. \]
여기서도 난데없이 \(\pi\)! (바늘의 '방향'을 적분하면 \(\int\sin\)에서 \(\pi\)가 튀어나오죠.) 그리고 이걸
뒤집으면 — 바늘을 \(N\)번 던져 \(C\)번 교차했다면 \(\pi\approx \dfrac{2LN}{DC}\). 즉 바늘만 던져서 \(\pi\)를
측정할 수 있습니다. 원이라곤 어디에도 없는데요(몬테카를로 적분의 원조이기도 합니다). 아래에서 직접 던져 보세요.
바늘을 던져 \(\pi\) 추정하기
빨강=선을 가로지른 바늘, 파랑=아닌 것.
던질수록 \(2LN/(DC)\)가 \(\pi\)로 다가갑니다(\(L=D\)라 \(\hat\pi=2N/C\)).
7맺으며 — 원주율은 원만의 것이 아니다
서로소일 확률에, 제곱수의 역수 합에, 짝홀의 무한곱에, 토너먼트 대진의 개수에, 두 블록의 충돌 횟수에, 그리고
바늘 던지기에까지 — \(\pi\)는 원이라곤 코빼기도 안 보이는 곳마다 나타났습니다. 사실 \(\pi\)는 "원의 비율"이기
이전에, 둥긂·주기·회전·확률·무한이 얽히는 곳이면 어디든 솟아나는 수예요. 정규분포에도
(\(\sqrt{2\pi}\), 가우스 적분 \(\int e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\)), 진자의 주기에도, 라이프니츠 급수
\(\tfrac\pi4=1-\tfrac13+\tfrac15-\cdots\)에도, 오일러 항등식 \(e^{i\pi}+1=0\)에도, 푸리에 변환과 양자역학의
불확정성에도 살죠.
그러니 다음에 \(\pi\)를 만나거든, "원의 둘레" 너머를 떠올려 주세요. 원주율은 — 그 정도로 좁게 기억되기엔, 너무
넓게 사는 수니까요. 조금은, 서운할 만하죠.
참고 자료
서로소 확률 · 바젤 — \(P(\gcd=1)=1/\zeta(2)=6/\pi^2\) · L. Euler(1735) \(\zeta(2)=\pi^2/6\) ·
오일러의 \(\sin\) 무한곱
등대(역피타고라스) 증명 — J. Wästlund, "Summing inverse squares by euclidean geometry" (2010),
math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf · 착상은
A. M. & I. M. Yaglom, Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions (1953)
월리스 공식 · 비에트 — J. Wallis(1656) · F. Viète(1593, 첫 무한곱) · 기하학적 증명:
J. Wästlund, "An elementary proof of the Wallis product formula for pi", Amer. Math. Monthly 114 (2007)
뷔퐁의 바늘 — Comte de Buffon(1733) · \(P=2L/(\pi D)\) · 몬테카를로로 \(\pi\) 추정
라마누잔 · 추드노프스키 — S. Ramanujan(1914) \(1/\pi\) 급수 · Chudnovsky 형제의 \(\pi\) 계산 기록