Some numbers had to earn their name.
\(\pi\)나 \(e\)는 누구나 압니다. 하지만 수학에는, 어느 날 누군가가 어떤 과정을 끝까지 따라가다 "어? 늘 같은 값이 나오네" 하고 마주친 — 그래서 비로소 이름을 얻은 수들이 있습니다. 연분수를 끝없이 펼치면 나타나는 수, 수를 소리 내어 읽기만 했더니 자라나는 속도, 혼돈으로 빠지는 길목마다 똑같이 등장하는 수. 각 장의 제목은 그 수 자체입니다. 그 숫자가 어쩌다 특별해졌는지를 따라가 봅시다.
다음 수열을 소리 내어 "읽어" 보세요. 1 → "1개의 1"이니까 11 → "2개의 1"이니까
21 → "1개의 2, 1개의 1"이니까 1211 → … 이렇게 앞 항을 그대로 읽은 말이
다음 항이 되는 수열을 읽고-말하기 수열(look-and-say)이라 합니다.
장난 같죠. 그런데 존 콘웨이가 물었습니다 — 이 수열의 길이는 얼마나 빨리 자랄까? 답이 놀랍습니다. 항의 자릿수는 단계마다 거의 일정한 비율로 늘어나는데, 그 비율이
$$ \lambda = 1.30357726903\ldots $$로 수렴합니다. 더 충격적인 건 이 \(\lambda\)의 정체예요. 콘웨이는 모든 항이 결국 92가지 "원소"(그는 화학 원소 이름을 붙였습니다)의 조합으로 분해된다는 걸 보였고(우주론적 정리), \(\lambda\)는 그 92×92 전이행렬의 최대 고유값 — 71차 다항식의 유일한 실근입니다. 그냥 수를 읽었을 뿐인데 71차 방정식이 튀어나온 거죠. 직접 읽어 보세요.
22로 시작하면 영원히 22 — 유일한 예외예요.)황금비 \(\varphi\)는 \(x^2=x+1\)의 해, 곧 "직전 두 항을 더하는" 피보나치의 성장률이죠. 그런데 차수를 하나 올려 \(x^3=x+1\)의 (유일한 실)근을 구하면 — 황금비의 수줍은 사촌, 플라스틱 수가 나옵니다.
$$ \rho^3=\rho+1,\qquad \rho = 1.32471795724\ldots $$이 수는 "직전 두 항이 아니라 한 칸 더 건너뛴 두 항을 더하는" 점화식 \(P_n=P_{n-2}+P_{n-3}\)의 성장률입니다. 이 수열이 파도반 수열이에요:
$$ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 12,\ 16,\ 21,\ 28,\ 37,\ 49,\ \dots $$이웃한 두 항의 비가 \(\rho\)로 수렴하죠. 플라스틱 수는 이른바 가장 작은 피소 수(Pisot number)로, 정수 계수 방정식의 근 중 "거의 정수처럼" 행동하는 가장 얌전한 무리수입니다. 네덜란드 건축가 판 데르 란은 이 비율을 건축 치수의 기준으로 삼았어요. 아래에서 파도반 수열의 비가 \(\rho\)로 가는 걸 보세요.
이제 진짜 기묘한 수입니다. 아무 실수나 하나 골라 연분수로 펼쳐 보죠:
$$ x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}} \;=\; [a_0;\,a_1,a_2,a_3,\dots]. $$여기 나오는 정수 \(a_1,a_2,a_3,\dots\)(부분몫)의 기하평균 \(\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}\)을 구해 \(n\)을 키우면 — 알렉산드르 힌친(1934)이 증명한 충격적인 사실: 거의 모든 실수에서 이 값이 똑같은 하나의 상수로 수렴합니다.
$$ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \;\longrightarrow\; K_0 = 2.68545200106\ldots $$당신이 어떤 수를 골랐는지와 무관하게요. \(x\)의 정체와 전혀 상관없이 그 부분몫들의 기하평균이 한 값으로 정해진다니 — 이게 어떻게 가능할까요?
열쇠는 가우스 사상입니다. 연분수를 한 칸 벗기는 일은 \(x\)의 소수부에 \(T(x)=\{1/x\}\)를 거듭 적용하는 것과 같고, \(a_k=\lfloor 1/x_{k-1}\rfloor\)로 부분몫이 떨어집니다. 가우스는 이 사상이 보존하는 분포(불변측도)가
$$ d\mu = \frac{1}{\ln 2}\,\frac{dx}{1+x}\quad(0\le x \lt 1) $$임을 알아냈습니다. 그러면 "거의 모든" \(x\)에서 부분몫이 특정 값 \(m\)일 확률이 \(k\)에 거의 무관하게 가우스–쿠즈민 분포로 정해져요:
$$ \Pr[\,a_k = m\,] \;=\; \log_2\!\Bigl(1+\frac{1}{m(m+2)}\Bigr). $$여기에 에르고딕 정리를 쓰면, 기하평균의 로그(=로그의 평균)가 이 분포에 대한 기댓값으로 수렴합니다. 정리하면 힌친 상수는 깔끔한 무한곱이 됩니다:
$$ K_0 = \prod_{m=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{m(m+2)}\Bigr)^{\log_2 m} = 2.6854520\ldots $$물론 예외도 있습니다(측도 0의 집합). 황금비 \(\varphi=[1;1,1,1,\dots]\)는 부분몫이 전부 1이라 기하평균이 1, 화음 편에서 본 \(\sqrt2=[1;2,2,2,\dots]\)는 전부 2라 기하평균이 2죠. 하지만 "아무렇게나" 고른 실수는 거의 확실히 \(2.6854\ldots\)로 갑니다. 아래에서 전형적인 수의 부분몫(가우스–쿠즈민 분포)을 모아 기하평균을 쌓아 보세요 — 느리지만 \(K_0\)로 기어갑니다.
아주 단순한 인구 모형을 봅시다. 올해 비율이 \(x\)면 내년엔 \(x\mapsto r\,x(1-x)\)(로지스틱 사상). 번식률 \(r\)를 천천히 키우면 — 처음엔 한 값으로 안정되다가, 어느 순간 두 값을 오가고, 다시 네 값, 여덟 값… 이렇게 주기가 계속 2배로 갈라지다(주기배가) 마침내 혼돈으로 빠집니다.
미첼 파이겐바움이 1975년 계산기를 두드리다 발견한 것 — 갈라짐이 일어나는 \(r\)값들의 간격이 줄어드는 비율이 일정한 상수로 수렴합니다:
$$ \delta = \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-r_{n-1}}{r_{n+1}-r_n} = 4.66920160910\ldots $$진짜 마법은 이게 로지스틱 사상만의 수가 아니라는 점이에요. 봉우리가 하나인 매끄러운 사상이면 — 진자든, 화학 반응이든, 리듬 편의 원 사상이든 — 전부 똑같은 \(\delta\)로 갈라집니다. 혼돈으로 가는 길은 여러 갈래여도, 그 길의 보폭은 만물에 공통이라는 거죠. 아래 분기 그림에서 주기가 2, 4, 8…로 갈라지다 검게 흩뿌려지는(혼돈) 모습을 확대해 보세요.
소수를 찍어내는 마법의 공식이 있다면? 1947년 윌리엄 밀스가 증명했습니다 — 어떤 상수 \(A\)가 존재해서
$$ \left\lfloor A^{\,3^{\,n}} \right\rfloor \quad\text{이 모든 } n\text{에 대해 소수} $$가 됩니다. 그 가장 작은 \(A\)가 밀스 상수 \(1.30637788386\ldots\)예요. 실제로 넣어 보면:
$$ \lfloor A^3\rfloor=2,\quad \lfloor A^9\rfloor=11,\quad \lfloor A^{27}\rfloor=1361,\quad \lfloor A^{81}\rfloor=2521008887,\ \dots $$전부 소수죠. 신기하다("오?")… 그런데 잠깐. 이 \(A\)를 어떻게 구할까요? 저 소수들을 거꾸로 알아야 \(A\)의 자릿수를 한 자리씩 채울 수 있습니다. 즉 공식이 소수를 만들어 주는 게 아니라, 이미 찾아 둔 소수들을 한 수에 욱여넣어 인코딩한 것에 가까워요. 게다가 \(A\)가 무리수인지조차 모르고, 그 값이 이대로라는 것마저 "이웃한 세제곱수 사이엔 늘 소수가 있다"는 (리만 가설급의) 미해결 추측에 기대고 있습니다.
밀스 상수는 결국 "이미 아는 소수를 숨겨 둔 포장"이라 김이 샜죠. 그런데 2019년 프리드먼 등은 — 정말로 모든 소수를 차례대로, 그것도 무조건적으로(미해결 추측에 기대지 않고) 토해 내는 상수를 내놓았습니다.
상수 \(f=2.920050977316\ldots\)에서 출발해, 수열을 이렇게 굴립니다:
$$ a_1=f,\qquad a_{n+1}=\lfloor a_n\rfloor\bigl(a_n-\lfloor a_n\rfloor+1\bigr). $$그러면 정수부 \(\lfloor a_n\rfloor\)이 정확히 \(n\)번째 소수가 됩니다 — \(2,3,5,7,11,\dots\) 끝없이. 밀스와 결정적으로 다른 점은 둘. (1) 일부가 아니라 모든 소수를 순서대로 빠짐없이 주고, (2) 리만 가설 같은 가정 없이 무조건 성립합니다. 물론 이 상수도 소수들로부터 정의되니 "새 소수를 만든다"기보다 "모든 소수를 한 실수에 접어 넣었다"에 가깝지만 — 접는 방식이 놀랍도록 단순하죠.
소수의 역수를 모두 더하면 \(\tfrac12+\tfrac13+\tfrac15+\tfrac17+\cdots\)는 (느리지만) 무한대로 발산합니다. 그런데 쌍둥이 소수(차이가 2인 소수쌍: 3·5, 5·7, 11·13, …)의 역수만 모으면? 비고 브룬이 1919년에 증명했죠 — 이건 수렴합니다.
$$ B_2=\Bigl(\tfrac13+\tfrac15\Bigr)+\Bigl(\tfrac15+\tfrac17\Bigr)+\Bigl(\tfrac1{11}+\tfrac1{13}\Bigr)+\cdots = 1.9021605831\ldots $$이 한 줄에 깊은 함정이 있습니다. 수렴한다는 건 쌍둥이 소수가 (있더라도) 충분히 드물다는 뜻이라, 이 합만으로는 쌍둥이 소수가 무한히 많은지 유한한지 알 수 없어요 — 쌍둥이 소수 추측이 아직도 미해결인 이유죠. 게다가 수렴이 어찌나 느린지, 아래에서 보듯 100만까지 더해도 한참 모자랍니다.
마지막 수는 — 제목에 적을 수가 없습니다. 그레고리 체이틴의 정지 확률 \(\Omega\)는, 무작위로 만든 프로그램이 (영원히 돌지 않고) 언젠가 멈출 확률입니다. 분명히 0과 1 사이의 한 실수로 잘 정의돼 있는데 — 그 어떤 알고리즘도 이 수의 자릿수를 출력할 수 없어요(계산 불가능·알고리즘적 무작위).
이유가 아찔합니다. \(\Omega\)의 앞 \(n\)비트만 알면, 길이 \(n\) 이하의 모든 프로그램이 멈추는지를 판정할 수 있습니다 — 곧 정지 문제가 풀리죠. 그런데 골드바흐 추측도, 리만 가설도 "반례를 찾으면 멈추는 프로그램"으로 바꿀 수 있으니, \(\Omega\)의 자릿수는 사실상 거의 모든 수학 난제의 답을 품고 있는 셈입니다(게임, 컴퓨터가 되다 편의 정지 문제 참고). 그래서 그 답들은 영원히 우리 손 밖이고요.
힌친 상수는 "아무 수나 골라도 같더라"에서, 콘웨이 상수는 "그냥 읽었을 뿐인데"에서, 파이겐바움 상수는 "혼돈으로 가는 길은 다 똑같더라"에서 태어났습니다. 누군가 어떤 과정을 끝까지, 끈질기게 따라갔기에 비로소 이름을 얻은 수들이죠. 어쩌면 모든 특별한 수는, 그렇게 누군가가 멈추지 않고 끝까지 가 본 자리에 떨어져 있는지도 모릅니다. \(\Omega\)는 — 끝까지 가 봐도 닿을 수 없는 자리가 있다는, 그 마지막 이야기고요.