Euclid keeps the beat.
음악의 수학은 음높이(화음)에만 있지 않습니다. 시간을 가르는 일 — 리듬 — 에도 정수론과 최소공배수가 숨어 있죠. 박을 가장 고르게 나누면 유클리드 호제법이 튀어나오고, 둘과 셋을 겹치면 최소공배수가, 마지막엔 북소리에 2차원 진동의 고유값이 울립니다. (소리가 납니다 — 스피커를 켜세요 🔊)
한 마디를 \(n\)개의 균등한 칸으로 나누고, 거기에 \(k\)번의 ‘침(onset)’을 최대한 고르게 박으려면 어디에 둬야 할까요? \(k\)가 \(n\)을 나누면 쉽지만(\(E(4,8)=\)네 칸마다), 안 나누어떨어질 땐 — 답이 놀랍게도 \(n\)을 \(k\)로 나누는 유클리드 호제법과 똑같은 과정(비외르클룬드 알고리즘)으로 나옵니다.
그렇게 얻은 유클리드 리듬 \(E(k,n)\)은 신기하게도 세계 곳곳의 전통 리듬과 일치해요 — \(E(3,8)\)은
쿠바의 트레시요 x..x..x., \(E(5,8)\)은 신킬요, \(E(4,9)\)는 터키 아크사크, \(E(5,16)\)은
보사노바. 정수론이 사람들의 몸이 찾아낸 그루브와 맞아떨어지는 거죠.
두 리듬을 동시에. 한 마디를 \(a\)등분한 줄과 \(b\)등분한 줄을 겹치면 — 서로 ‘안 맞는’ 개수일수록 묘하게 흔들리는 폴리리듬이 됩니다(3 대 2가 대표적). 두 줄이 다시 딱 맞아떨어지는 건 \(\operatorname{lcm}(a,b)\)칸마다죠. 3:2면 \(\operatorname{lcm}(3,2)=6\)칸마다 만나고, 그 사이 어긋남이 헤미올라의 그 출렁임을 만듭니다.
모든 칸이 같을 필요는 없습니다. 7박을 \(2+2+3\)으로 묶으면(\(7/8\) 박자) ‘절뚝이며’ 굴러가는 발칸·터키의 아크사크 리듬이 되죠. 균등 분할(곱셈)이 아니라 덧셈으로 박을 쌓는 겁니다 — \(5=2+3\), \(7=2+2+3\), \(9=2+2+2+3\)처럼. 아래로 들어 보세요.
\(n\)박을 (순서를 구분해) 자연수의 합으로 쪼개는 모든 방법 — 조합론에서 합성(composition) — 의 수는 놀랍도록 깔끔합니다.
돌 \(n\)개를 한 줄로 늘어놓으면, 돌 사이에 틈이 \(n-1\)개 생깁니다. 각 틈마다 칸막이를 넣을지 말지를 따로 정하면 — 칸막이로 나뉜 연속 덩어리들의 길이가 그대로 하나의 합성이 됩니다(예: \(\bullet\,|\,\bullet\bullet\,|\,\bullet\bullet \to 1{+}2{+}2\)). 틈 \(n-1\)개에 각각 두 가지씩, 그래서 \(2^{\,n-1}\)가지. \(\blacksquare\)
예컨대 \(7\)박은 \(2^{6}=64\)가지로 쪼갤 수 있고 \(2{+}2{+}3\)은 그중 하나입니다. (칸막이를 모두 넣으면 균등한 \(7\)박 \(1{+}1{+}\cdots\), 하나도 안 넣으면 통째로 한 박.) 아래에서 직접 칸막이를 넣었다 빼며 들어 보세요.
왜 인류는 4박을 ‘가장 기본’으로 느낄까요? 가장 설득력 있는 수학적 단서는 ‘결합 진동자’의 동조에 있습니다.
진동자(oscillator)란 규칙적으로 같은 동작을 되풀이하는 것 — 똑딱이는 메트로놈, 흔들리는 다리, 일정하게 발화하는 신경 세포처럼요. 두 진동자가 서로의 박자에 영향을 주면 ‘결합(coupled) 진동자’라 부릅니다. 흔들리는 탁자 위 두 메트로놈이 저절로 같은 박으로 맞춰지고, 반딧불이 떼가 한꺼번에 깜빡이고, 노래를 들으며 발이 비트에 척척 들러붙는 것 — 모두 결합 진동자의 동조(synchronization)예요. 박을 따라가는 우리 뇌의 진동도, 바깥 음악과 결합한 진동자인 셈이죠. 아래에서 직접 둘을 결합시켜 보세요.
핵심은, 동조가 꼭 1:1로만 일어나지 않는다는 점입니다. 한쪽이 한 번 돌 때 다른 쪽이 두 번 도는 2:1, 또는 3:2처럼 — 정수비로 맞물릴 수 있어요(이를 위상 고정, mode-locking이라 합니다). 어떤 비로 잠기는지는 두 진동자의 타고난 빠르기 차이(이를 어긋남 \(\Omega\)라 합시다)와 결합의 세기 \(K\)에 달렸습니다.
이걸 가장 단순하게 담은 장난감이 원 사상(circle map)입니다. 한 진동자의 위상(한 바퀴를 \(0\)~\(1\)로 보고, \(1\)을 넘으면 \(0\)으로 되돌아오는 ‘원 위의 점’)이 매 박마다 — 제 빠르기만큼 \(\Omega\) 나아가고, 거기에 상대가 당기는 힘 \(K\)가 더해져 — 이렇게 갱신됩니다:
$$ x_{n+1} = x_n + \Omega + \frac{K}{2\pi}\sin(2\pi x_n). $$여기서 회전수 \(\rho\)는 ‘한 박당 평균 몇 바퀴 도는가’ — 곧 두 진동자의 장기 빈도 비입니다. \(\rho\)가 \(p/q\) 같은 유리수면 둘은 \(p:q\)로 딱 잠긴 것이고(동조), 무리수면 영영 안 맞물려 미끄러집니다. 그런데 신기한 건 — 어긋남 \(\Omega\)를 슬슬 바꿔도 \(\rho\)가 한동안 같은 단순한 비에 그대로 눌러앉는다는 것(고정의 ‘튼튼함’)이고, 그 눌러앉는 구간이 가장 넓은 비가 바로 가장 단순한 비예요.
그래서 \(\rho\)를 \(\Omega\)에 대해 그리면, 평탄한 계단들이 줄지어 선 ‘악마의 계단’이 됩니다. 가장 넓은 내부 계단이 \(\rho=\tfrac12\) — 곧 2:1 고정이죠. 그래서 박자 위계가 2:1로 겹겹이 쌓이는 2박·4박이 가장 견고합니다. 아래에서 결합 세기 \(K\)를 키워 보세요 — 계단(특히 \(\tfrac12\))이 점점 넓어집니다. (이렇게 결합 세기를 더 키우면 원 사상은 끝내 혼돈으로 빠지는데, 그 길목마다 똑같이 등장하는 수가 파이겐바움 상수입니다.)
음원을 넣으면 DJ·DAW 프로그램이 BPM을 척 알아내죠. 푸리에냐고요? — 절반만 맞습니다. 원파형을 그냥 푸리에 변환하면 음높이 주파수가 나올 뿐, 박의 빠르기는 안 나와요. 진짜 비결은 두 단계입니다.
즉 푸리에는 쓰이되 — 원파형이 아니라 ‘리듬 곡선’에 씁니다. 아래는 핵심인 ②단계(자기상관)를 직접 본 것입니다.
현(줄)은 1차원이라 진동 모드의 주파수가 정수배 \(f,2f,3f,\dots\)입니다 — 그래서 또렷한 음정을 갖죠. 그런데 북은 2차원 막이라 사정이 다릅니다. 정사각형 막의 진동 모드 \((m,n)\)은 \(\sin(m\pi x)\sin(n\pi y)\) 꼴이고, 주파수는
$$ f_{m,n} \;\propto\; \sqrt{m^2+n^2}. $$그러면 배음 비가 \(\sqrt2:\sqrt5:\sqrt8:\dots\) 같은 무리수라, 정수배가 아니라서 ‘음정이 흐릿한’ 타악기 소리가 납니다(원형 북은 베셀 함수라 \(1:1.59:2.14\dots\)). 모드마다 움직이지 않는 마디선이 생기는데, 그게 모래를 뿌리면 드러나는 클라드니 무늬예요. 아래에서 \((m,n)\)을 바꿔 보세요.
박을 고르게 나누면 유클리드 호제법이, 둘과 셋을 겹치면 최소공배수가, 북을 두드리면 2차원 고유값이 울립니다. 음높이만 수였던 게 아니라 — 시간을 가르는 리듬도, 그 소리를 내는 북의 모양도 통째로 수였던 거죠. 리듬에 수를 맡겨도, 음악은 조금도 덜 음악적이지 않습니다.