그래서 그 중국인의 이름은?

1물건이 몇 개인지 모른다 중국인의 나머지 정리

3~5세기 무렵 중국의 산학서 『손자산경(孫子算經)』에 이런 문제가 실려 있습니다.

답은 23입니다. 그리고 105를 더할 때마다 또 답이죠(23, 128, 233, …). 이 "나머지들만 알면 수가 하나로 정해진다"가 오늘날 중국인의 나머지 정리라 불리는 것입니다. 아래에서 나머지를 바꿔 가며 답이 어떻게 하나로 좁혀지는지 보세요.

손자는 답만 적었지 왜 그런지, 그리고 일반적으로 어떻게 푸는지는 적지 않았습니다. 그 일반 해법을 만든 사람이 있습니다. 남송의 진구소(秦九韶), 1247년의 저작 『수서구장(數書九章)』에 실린 대연총수술(大衍總數術)입니다. 나누는 수들이 서로소가 아닐 때까지 다루는, 지금 교과서에 실린 것과 본질적으로 같은 알고리즘이에요.

유럽에서 같은 정리를 정식화한 사람은 가우스(1801, 『정수론 연구』)입니다. 그래서 이름이 붙을 자리는 최소 두 개 있었던 셈이죠 — 진구소의 정리이거나 가우스의 정리이거나. 실제로 붙은 이름은 "중국인의"였습니다.

2신사에 걸린 액자 일본인의 정리

에도 시대 일본에는 산가쿠(算額)라는 관습이 있었습니다. 기하 문제를 풀면 그림과 답을 나무 액자에 새겨 신사나 절에 봉납하는 것. 신에게 바치는 감사이자, 지나가는 사람에게 거는 도전이었죠. 수백 장이 남아 있고, 대개 봉납자의 이름과 연도가 적혀 있습니다.

1800년, 야마가타현 쓰루오카의 산노샤(山王社) 신사에 액자가 하나 걸립니다. 봉납자는 마루야마 료칸(丸山良寛). 거기 적힌 명제가 이렇습니다.

처음 들으면 믿기 어렵습니다. 쪼개는 방법에 따라 삼각형들의 모양이 완전히 달라지는데, 내접원 반지름을 더한 값만 고집스럽게 같다니. 직접 해 보세요 — 꼭짓점을 끌어 다각형을 바꾸고, 삼각분할을 바꿔 가며 오른쪽 아래 합계를 보시면 됩니다.

이 정리에는 사각형 버전도 있습니다 — 원에 내접하는 사각형을 두 대각선으로 나눠 생기는 네 삼각형의 내심을 이으면 직사각형이 된다는 것. 이것도 산가쿠에서 나왔고, 역시 "일본인의 정리"라 불립니다.

3경의를 담아, 이름을 지우다 중국인 우편배달부 문제

세 번째는 결이 조금 다릅니다. 이 이름은 모욕이 아니라 헌사로 붙었거든요.

1960년, 중국의 관메이구(管梅谷)가 논문을 하나 씁니다. 우편배달부가 담당 구역의 모든 길을 적어도 한 번씩 지나 우체국으로 돌아오려면, 어떤 경로가 가장 짧은가. 1962년 영어로 번역돼 서구에 알려졌고, 잭 에드먼즈가 이 문제를 최적화 학계에 소개하면서 관메이구에게 경의를 표하는 뜻으로 이름을 붙였습니다 — "중국인 우편배달부 문제"라고요.

오일러의 쾨니히스베르크 다리 문제가 "모든 다리를 정확히 한 번씩"이라면, 관메이구의 문제는 "모든 길을 적어도 한 번씩, 대신 총 길이를 최소로"입니다. 홀수 개의 길이 모이는 교차로들을 짝지어 그 사이를 중복해 걷는 것이 최적이고, 이건 실제로 다항시간에 풀립니다 — 제설차 경로, 쓰레기 수거, 도로 점검이 전부 이 문제예요.

4오일러의 오기 펠 방정식

이번엔 이름이 엉뚱한 유럽 사람에게 간 경우입니다. \(x^2-Dy^2=1\)를 정수로 푸는 문제를 우리는 펠 방정식이라 부릅니다. 그런데 존 펠은 이 문제를 푼 적이 없습니다.

17세기에 페르마가 이 문제를 도전 과제로 냈고, 브롱커가 해법을 내놓았습니다. 그런데 오일러가 그 해법을 펠의 것으로 착각해 인용했고, 오일러의 권위가 워낙 커서 이름이 그대로 굳었습니다. 유럽 안에서만 봐도 이미 잘못된 이름인 거죠.

진짜 원조는 훨씬 동쪽, 훨씬 옛날입니다. 브라마굽타가 628년에 두 해를 합성해 새 해를 만드는 항등식(바바나)을 세웠고, 이를 이어 자야데바(10세기경)와 바스카라 2세(1150)가 차크라발라(चक्रवाल, 순환법)라는 일반 해법을 완성했습니다. 유럽보다 500년 이상 앞섭니다.

얼마나 강력한 방법이었는지는 숫자가 말해 줍니다. 페르마가 1657년에 "이건 못 풀걸" 하며 낸 문제가 \(D=61\)이었는데 — 바스카라 2세는 그보다 500년 전에 이미 이 경우를 풀어 두었습니다. 최소해가 이렇습니다.

손으로 찍어 맞힐 수 있는 크기가 아니죠. (펠 방정식의 해가 어떻게 폭발하는지는 디오판토스 방정식 편에서 직접 돌려 볼 수 있습니다.) 그래서 일부 수학사가는 이 방정식을 브라마굽타–바스카라 방정식이라 부르자고 제안합니다.

5이름의 시차

이런 사례는 몇 개 더 있습니다. 아래 그림은 처음 기록된 때부터 지금 쓰는 이름이 붙은 때까지의 간격입니다. 막대의 길이가 곧 크레딧이 이동하는 데 걸린 시간이고요.

몇 가지만 풀어 적자면:

• 가우스 소거법 — 연립방정식을 사각형으로 늘어놓고 위에서부터 소거하는 방법은 1세기 무렵 중국의 『구장산술(九章算術)』 방정술(方程術)에 이미 완성형으로 실려 있습니다. 음수 계산까지 포함해서요.
• 호너의 방법 — 다항식을 중첩 괄호로 접어 빠르게 계산하는 기법(1819). 앞서 본 진구소가 1247년에 고차방정식 수치해법으로 썼고, 중국에서는 지금도 진구소 알고리즘이라 부릅니다. 11세기 가헌·유익, 12세기 페르시아의 알투시도 같은 아이디어에 도달했습니다.
• 파스칼의 삼각형 — 중국에서는 양휘 삼각형(1261년 기록, 원류는 11세기 가헌), 이란에서는 하이얌 삼각형, 이탈리아에서는 타르탈리아 삼각형입니다. 같은 삼각형이 나라마다 다른 이름을 갖고 있고, 영어권 표준만 파스칼(1654)이 된 거죠.
• 마다바–라이프니츠 급수 — \(\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots\). 14~15세기 인도 케랄라 학파의 마다바가 삼각함수 급수와 함께 얻었고, 그레고리·라이프니츠보다 250년 이상 앞섭니다. 이건 요즘 병기 표기가 자리를 잡아 가는 사례라 그나마 희망적입니다.
• 아라비아 숫자 — 인도에서 만들어져 아랍 세계를 거쳐 유럽에 왔는데, 이름은 중간 전달자가 가져갔습니다. 정작 그 전달자 알콰리즈미는 algorithm(알고리즘)과 al-jabr→algebra(대수학)라는, 훨씬 큰 이름을 남겼고요. 크레딧이 살아남은 드문 경우입니다.
• "러시아 농부 곱셈" — 2배와 반으로 나누기를 반복하는 곱셈법. 실제로는 고대 이집트 린드 파피루스에 있는 방법입니다. 여기엔 민족에 계급을 깔보는 뉘앙스까지 얹혔습니다 — "배우지 못한 사람도 쓰는 방법"이라는 식으로요.

6스티글러의 법칙 — 그런데 원래 다 그렇다?

여기서 공정하게 짚을 게 있습니다. 잘못된 이름 붙이기는 유럽 안에서도 일상입니다. 통계학자 스티븐 스티글러가 정리한 스티글러의 명명 법칙이 그것이죠.

실제로 오일러의 수 \(e\)는 네이피어가 먼저 봤고, 벤 다이어그램은 오일러가 먼저 그렸고, 카르다노 공식은 델 페로와 타르탈리아의 것이고, 패턴을 믿지마 편의 벤포드 법칙도 뉴컴이 먼저입니다. 그러니 "중국인의 나머지 정리"라는 이름 하나만 놓고 인종 문제라고 하긴 어렵습니다.

문제는 어긋나는 방향에 규칙성이 있다는 점입니다. 위 타임라인을 다시 보면 두 패턴이 보입니다.

7맺으며 — 되돌릴 수 있는 것

이름을 바꾸는 일은 생각보다 자주 일어납니다. 그레고리 급수는 마다바–라이프니츠 급수로 병기되기 시작했고, 펠 방정식을 브라마굽타–바스카라 방정식으로 쓰자는 제안이 있고, 중국인 우편배달부 문제는 관의 문제로 불리는 논문이 늘고 있습니다. 교과서는 느리지만, 논문은 생각보다 빨리 따라갑니다.

사실 이 페이지에서 가장 이상한 점은 따로 있습니다. 우리는 가우스가 몇 살에 무엇을 했는지는 알아도, 같은 정리를 500년 앞서 완성한 진구소가 무슨 일을 하던 사람인지는 모릅니다(그는 관료이자 군인이었고, 『수서구장』은 그가 모친상으로 관직을 쉬던 3년 동안 쓴 책입니다). 정보가 없어서가 아니라, 찾아본 적이 없어서죠.

그래서 제목의 질문에 답하며 끝내겠습니다. 그 중국인의 이름은 관메이구입니다. 그리고 또 다른 중국인의 이름은 진구소, 그 일본인의 이름은 마루야마 료칸, 그 인도인의 이름은 브라마굽타와 바스카라 2세, 마다바입니다. 정리는 어차피 우리 모두의 것이 되지만, 이름은 한 사람의 것이었으니까요.