서브컬쳐에 수학 묻었어

1방영 순서가 뒤죽박죽 — 그리고 4chan의 질문

TVA 《스즈미야 하루히의 우울》은 방영 에피소드 순서와 원반 매체(DVD/BD) 수록 순서가 달랐습니다. 후자는 원작의 시계열 순서를 따랐지만, 전자는 그 순서를 일부러 뒤섞어 방영했죠.

여기에 착안해 2011년 9월 13일, 4chan의 과학·수학 게시판 /sci/에 한 유저가 질문을 던집니다 — "《스즈미야 하루히의 우울》 1기 총 14화의 모든 가능한 시청 순서가 각각 연속으로 등장하도록 에피소드를 늘어놓는다면, 최소 몇 화가 필요할까?"

예를 들어 총 3화라면, 에피소드를 123121321 순으로 늘어놓으면 세 화의 순서로 가능한 여섯 가지 — \(123, 132, 213, 231, 312, 321\) — 가 모두 어딘가에 연속으로 나타납니다. 그 최소 길이가 곧 답이 되겠죠.

2초순열(superpermutation)이란

1부터 \(n\)까지의 가능한 모든 \(n!\)개 순열이 전부 연속 부분열로 등장하는 수열을, 수학에서는 초순열(superpermutation)이라 부릅니다. 그 최소 길이를 묻는 문제는 1993년 대니얼 애슐록과 제닛 틸럿슨의 논문에서 처음 다뤄졌죠. \(n=1,2,3,4,5\)에서 그 최솟값은

로 나타나는데, 이 값들이 정확히 \(n!+(n-1)!+\cdots+2!+1!\)과 같아서 — "최솟값은 늘 이 팩토리얼의 합이 아닐까?"라는 예상이 자연스럽게 퍼졌습니다. 아래에서 \(n\)을 바꿔 가며 직접 만들어 보세요(가장 많이 겹치도록 이어 붙이는 그리디 방식).

3예상이 깨지다 — 휴스턴의 872

예상대로라면 \(n=6\)의 최솟값은 \(6!+5!+\cdots+1!=873\)이어야 합니다. 그런데 2014년 로빈 휴스턴(Robin Houston)이 길이 872짜리 초순열을 찾아내며 이 예상을 깨뜨립니다(단 하나 차이로!). 처음 몇 개의 값만 보고 일반 법칙을 섣불리 예측하다 무너지는 — 패턴의 함정에 걸린 사례로 자주 거론되죠. 훗날 컴퓨터 전수 탐색으로 872가 \(n=6\)의 진짜 최솟값임이 확인되었습니다(OEIS A180632). 수학자 너새니얼 존스턴은 이를 두고 "'당연해 보인다'가 곧 '참'은 아니다"라고 적었죠.

휴스턴이 찾아낸 그 872자리 초순열은 다음과 같습니다 — 위 인터랙티브의 \(n=6\) 그리디 결과(873자리)를 딱 한 글자 앞서는 수열이죠.

44chan의 하한과 이건의 상한

다시 하루히 문제로 돌아가면 — 4chan에 질문이 올라온 지 며칠 만에, 다른 익명 유저가 \(n\)화일 때 필요한 최소 길이가 적어도 \(n!+(n-1)!+(n-2)!+n-3\)임을 증명해 올렸습니다. 그러나 이 풀이는 학계의 주목을 받지 못한 채 인터넷 한구석에 묻혀 있었죠(당시엔 "최솟값 \(=\) 팩토리얼의 합"이라는 예상 탓에 하한은 관심을 끌기 어려웠습니다).

그러다 존 베즈(John Baez)가 "초기값 예측의 실패" 트윗에서 휴스턴의 길이 872 초순열을 소개했고, 이를 본 SF 소설가 그렉 이건(Greg Egan)이 2018년 10월 20일 상한 \(n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+n-3\)을 찾아냅니다. 그러자 4chan에 묻혀 있던 하한 증명도 다시 조명을 받았죠. 2018년 10월 25일, 로빈 휴스턴·제이 팬톤·빈스 배터가 그 증명을 검토·정리해 논문으로 냈습니다.

이건은 \(n=7\)에 대해서도 길이 5906짜리 초순열을 직접 구성해 상한을 제시했습니다. 다만 전수 탐색으로 정확한 최솟값이 확정된 건 아직 \(n\le6\)까지뿐 — \(n\ge7\)의 진짜 최솟값은 위 부등식 사이 어딘가에서 여전히 열려 있는 문제입니다.

5연사 패드가 힘을 숨김

일본의 레트로 게임 유튜버 4ST는, 패미컴(NES)에서 버튼을 꾹 누르고만 있어도 연속으로 누른 것과 같은 효과를 내는 서드파티 연사(連射) 패드들을 모아 리뷰했습니다.

슈팅·액션 아케이드 게임이 쏟아지던 80년대, 순정 패드로는 버튼을 한 번 누를 때마다 탄환 한 발이 나가는 게임이 많았죠(꾹 눌러도 알아서 연사되는 게임도 있었지만요). 그런 게임을 손쉽게 즐기려고, 누르고만 있어도 빠르게 대신 연타해 주는 연사 패드가 우후죽순 나왔습니다.

그런데 벤치마크 결과는 실망스러웠습니다. 잡지 광고에서 "40연사"를 내세운 제품이, 막상 재 보면 24연사밖에 안 나오는 식이었죠.

그러다 이 채널의 후속 영상에서 작은 반전이 나타납니다 — 사실 패미컴 자체가 초당 30연사가 한계였던 것. 그 이상은 패미컴이 처리할 수 없었습니다.

표 출처: 유튜브 채널 4ST 《連射王決定戦》

표의 세 값은 각각 광고값(公称値)·패미컴 실측(FC実測値)·PC 실측(PC実測値)입니다. 광고가 높았던 제품도 패미컴에선 30을 못 넘게 낮게, 더 빠른 환경(PC)에선 광고에 가깝게 측정되죠.

6패미컴을 거치면 — 지그재그

패미컴은 초당 60회, 즉 1/60초마다 입력을 한 번씩만 읽습니다. 한 번의 연사는 누름(1/60초)과 뗌(1/60초)으로 최소 2/60초가 필요하니 — 연사 패드가 아무리 빠르게 신호를 보내도 패미컴이 인식하는 건 초당 30회가 한계인 겁니다. 그래서 패미컴에서 낮게 측정된 제품을 다른 환경에서 재면 광고값에 가까운 수치가 나오죠.

그렇다면 실제 연사 주파수 \(f\)에 대해, 패미컴을 거친 뒤의 측정값은 어떻게 될까요? 매 1/60초 창마다 신호 하나만 인식한다고 보고 시뮬레이션하면 — 톱니 모양의 지그재그가 나옵니다(아래 빨강 점이 영상의 실측값).

7특촬물이 에피소드 수를 표현하는 방법

일본의 유명 특촬물 《가면 라이더》의 한 시리즈 《가면 라이더 빌드》(2017–2018)에는 수식이 유난히 많이 등장합니다. 주인공은 스스로를 천재 물리학자라 칭하고, 그가 사는 곳 칠판에는 늘 수식이 적혀 있으며, 심지어 변신할 때 수식이 공중으로 날아가는 연출까지 나오죠. 드라마 《갈릴레오》처럼 ‘이과생 히어로’의 분위기를 내려는 장치인데 — 특히 매 화마다 그 화수(話數)를 수식으로 표현하는 점이 독특합니다.

예컨대 제2화에서는, 피보나치 수열의 첨자를 음수로 확장할 때 쓰는 항등식

이 등장하고, 곧이어 \(F_{-3}=F_{3}=2\)로 ‘제2화’의 타이틀을 소개합니다. 제3화부터는 당시 게이오대 물리학과 박사후연구원이었고 현재는 도쿄대 교수인 시라이시 나오토(白石直人)가 매 화의 수식을 제공했습니다 (그의 정리 페이지에 전부 공개돼 있죠). 아래는 그가 직접 쓴 ‘각 수식이 어떻게 화수가 되는가’ 설명을 옮긴 것입니다.

몇 가지 골라 보면

제12화 — \(-1/\zeta(-1)=12\). 그 악명 높은 “\(1+2+3+\cdots=-\tfrac{1}{12}\)”(리만 제타의 해석적 연속 \(\zeta(-1)=-\tfrac{1}{12}\))를 뒤집은 것입니다. 이 \(-\tfrac{1}{12}\)이 대체 왜 말이 되는지는 〈좋아! 자연스러웠어!〉에서 자세히 다뤘죠.

제4·7화 — 지도 색칠. 평면 지도는 네 색이면 충분(4색 정리)하지만, 도넛 표면(토러스) 위 지도는 일곱 색이 필요합니다. 공교롭게도 토러스 쪽이 평면보다 훨씬 먼저 풀렸습니다.

제5화 — \(S_n\)이 가해군이 아님. 대칭군 \(S_n\)은 \(n\ge5\)에서 가해군이 아닌데, 이는 5차 방정식에 사칙연산과 거듭제곱근만으로 된 일반 해 공식이 없다는 사실(아벨–루피니, 갈루아)과 본질적으로 같습니다 — 갈루아 군으로 풀어 본 이야기는 〈대칭이라 쓰고 불변이라 읽는다〉에 있죠.

제8화 — 후르비츠 정리. 두 제곱합의 곱이 다시 제곱합이 되는 쌍선형 곱은 \(n=1,2,4,8\)에서만 가능합니다. 이것이 ‘제대로 된 곱셈을 가진 수’가 실수·복소수·사원수·팔원수밖에 없는 이유의 배경이죠 — 수 체계를 이 넷까지 넓히는 이야기는 〈좋아! 자연스러웠어!〉에서 다뤘습니다.

제9화 — 카탈랑 추측. 차이가 1인 연속한 두 거듭제곱은 \(8=2^3\)과 \(9=3^2\)뿐(미하일레스쿠, 2002). 제41화는 오일러의 행운수 — \(n^2+n+41\)이 \(n=0,\dots,39\)에서 모두 소수라, 41이 그 최대값입니다 (왜 하필 41인지는 〈패턴을 믿지마〉에서).

제33화 — 라마누잔. 그의 전매특허인 초고속 \(1/\pi\) 급수도 등장합니다. 변형해서 33을 만들었죠.

이 외에도 완전수(28), 아커만 함수(29), 메르센 소수(31), 산재군(26)·이종 구면(27)·결정점군(32) 같은 ‘개수 세기’, 그리고 라마누잔의 근사식들이 줄줄이 나옵니다. 제3화부터 제49화까지 전부 아래에서 직접 넘겨 보세요.

8카케구루이의 세 색 주사위 — 비추이 주사위

《카케구루이》의 한 도박 승부엔 세 가지 색 주사위가 나옵니다. 각 눈이 두 번씩 박혀 있죠.

겉보기엔 완벽히 공평합니다 — 셋 다 눈의 평균이 5(여섯 눈의 합 30)로 똑같고, 아홉 가지 눈을 합치면 정확히 1부터 9까지라 겹치는 값이 없어 무승부조차 없어요. 그런데 둘을 굴려 큰 눈이 이긴다고 하면 — 가위바위보 같은 일이 벌어집니다.

그래서 함정은 분명합니다 — 상대에게 먼저 고르게 한 뒤, 그걸 이기는 주사위를 집으면 늘 5/9로 유리해요 (무엇을 골라도 받아치는 게 있으니까). 아래에서 직접 "먼저 골라" 보세요.

한 술 더 뜨는 반전 — 각자 두 개씩 굴려 눈의 합으로 겨루면 고리가 통째로 뒤집힙니다. 이제 Red가 Black을, White가 Red를, Black이 White를 이겨요(약 52~54%). "한 개로 할까 두 개로 할까"를 정하는 쪽이 사실상 판을 쥐는 셈이죠(위 그림의 토글로 확인해 보세요).

9카케구루이의 무한 거듭제곱 탑 — √2의 함정

《카케구루이》엔 이런 문제도 나옵니다 — "\(x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=2\)일 때 \(x^2\)은?" 무한히 쌓인 거듭제곱 탑이죠. 풀이는 의외로 한 줄입니다. 탑 전체가 2인데, 맨 아래 \(x\)의 지수에 올라탄 것 역시 똑같은 무한 탑이라 그 값도 2. 그러니 \(x^2=2\) — 답은 그대로 2입니다. (그리고 \(x=\sqrt2\).)

그런데 여기에 무서운 함정이 있어요. 똑같은 방법으로 \(=4\)를 풀어 봅시다. \(x^4=4\)이니 \(x=\sqrt[4]{4}=\sqrt2\). 어라 — 또 \(\sqrt2\)?! 같은 \(x\)가 탑을 2로도 4로도 만든다니, 모순이죠.

정체는 이렇습니다. \(\sqrt2\)의 무한 탑은 사실 2로 수렴합니다 — 4가 아니라. 방정식 \(t=(\sqrt2)^{t}\)는 해가 둘(\(t=2\)와 \(t=4\))인데, 한 층씩 쌓는 반복 \(t\mapsto(\sqrt2)^{t}\)은 안정한 쪽 \(t=2\)로만 빨려 들어가고, \(t=4\)는 밀어내는 불안정 고정점이라 영영 닿지 못해요. 그러니 "\(=4\)"는 — 애초에 해가 없습니다.

더 일반적으로, 무한 거듭제곱 탑 \(x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\)은 \(x\in[e^{-e},\,e^{1/e}]\approx[0.066,\,1.445]\)에서만 수렴하고, 그 값은 \([1/e,\,e]\approx[0.368,\,2.718]\) 안에만 머뭅니다. 4는 \(e\)보다 크니 어떤 \(x\)로도 만들 수 없죠. "해가 있다고 가정하고 푼" 게 오류의 정체 — \(x=x+1\)엔 해가 없는데 있다고 치면 \(0=1\)이 "증명"되는 것과 똑같습니다.

10맺으며

애니 방영 순서를 섞은 사소한 결정이 1993년의 조합론 난제로 이어지고, 연사 패드의 과장 광고가 알고 보니 하드웨어의 60Hz 한계와 톱니 함수로 설명되고, 특촬물 히어로의 변신 연출에는 정수론·군론·라마누잔이 날아다니고, 도박 만화의 세 색 주사위엔 가위바위보 같은 비추이성이, 무한 거듭제곱 탑 문제엔 ‘없는 해’의 함정이 숨어 있습니다 — 서브컬쳐의 구석구석에 수학이 묻어 있습니다. 익명 게시판 글부터 레트로 게임 유튜버의 벤치마크, 일요일 아침 특촬물까지, 가장 뜻밖의 곳에서요.